Z[={ a + bi : a, bEZ}]
“高斯整数。”
“a加b乘i。”
“a和b都是整数。”
“在这一个新的数系里头，你做一件事。”
“你把一个整数n，展开成它在Z[里的素因子分解。”
他在黑板上画了一个分支。
“在普通的整数里，5是素数。”
“可是在Z[里，5 =(2 + i)(2- i）。”
“它分裂了。”
“3呢？在Z[里，它还是素数，它不分裂。”
“7呢？也不分裂。”
“为什麽有的素数分裂，有的不分裂？”
他看了一眼章衡。
章衡的眼睛已经发亮了，然後大声说道。
“模4余1的分裂。”
“模4余3的不分裂。”
李东点了点头。
“所以rz(n）其实问的是什麽？”
“问的是把n在Z[里头分解成两个高斯整数的乘积，有多少种分法。”
“这是高斯整数里头的'除数函数'。”
“换一个数系，这个问题从"数解'变成了'数除数'。”
“换一个视角，这个问题就从"代数变换的组合问题'，变成了'数论里头熟悉的因子计数问题'。”他停顿了一下，指了指邱嘉源
“这位同学，你刚才那一个面积估算说rs(n)的平均阶是r。”
“你知道为什麽是n吗？”
邱嘉源有些犹豫的说道。
“圆的面积公式。”
李东摇了摇头。
“也不是。”
“圆的面积公式，是一个表象。”
“你把这个解数函数rz(n)做一个 Dirichlet级数。”
李东在黑板上又写了一行。
[Zrz(n)/n^s=4· &(s) ·L(s, x)】
“它在解析上分裂成两个东西的乘积。”
“一个，是黎曼（函数。”
“另一个，是模4那一个非平凡特征的DirichletL函数。”
“乘积的第一项，在s=1处有极点，留数等於1。”
“乘积的第二项，在s=1处的值，是r/4。”
“两个一乘，就出了那一个n。”
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